SMA - 1
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
Contoh Soal-soal dan Pembahasan Integral
1. ∫(2x3 + 3x2 + x + 7)dx = …….
Jawab:
pakai rumus : ∫ k x n dx =
n +1
k x n+1 + c
∫(2x3 + 3x2 + x + 7)dx =
4
2 x 4 +
3
3 x 3 +
2
1 x 2 + 7x + c
=
2
1 x 4 + x 3 +
2
1 x 2 + 7x + c
2. ∫sin 3x sin 2x dx = ……
Jawab:
ingat rumus trigonometri : -2 sinα sinβ = cos(α +β ) – cos(α -β )
sinα sinβ = -
2
1 ( cos(α +β ) – cos(α -β ) )
=
2
1 ( cos(α -β ) - cos(α +β ) )
∫sin 3x sin 2x dx = ∫ cos(3x − 2x)dx
2
1 - ∫ cos(3x + 2x)dx
2
1
= ∫ cos x
2
1 dx - ∫ cos5x
2
1 dx pakai rumus ∫ cos(ax + b) dx =
a
1 sin (ax+b) + c
Sehingga menjadi :
=
2
1 sin x -
2
1
5
1 sin 5x + c
=
2
1 sin x -
10
1 sin 5x + c
SMA - 2
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
3. ∫ x2 2x3 + 3 dx = …….
Jawab :
cara subtitusi:
misal: u = 2x 3+3
dx
du = 6x 2 dx = 6x2
du
Sehingga :
∫ x2 2x3 + 3 dx = ∫ 2
1
x2u 6x2
du
= ∫ 6
1 u 2
1
du =
6
1
2
1 1
1
+
u 2
1 +1 + c
=
6
1
3
2 u 2
3 + c =
9
1 (2x 3 +3) 2x3 + 3 + c
4. ∫ x2 cos x dx = ……
Jawab :
Pakai rumus integral parsial : ∫u dv = uv - ∫v du
misal : u = x 2 du = 2x dx
dv = cos x dx v = ∫cos x dx = sinx
Sehingga :
∫ x2 cos x dx = x 2 . sinx - 2∫ x sin xdx
∫ x sin x dx perlu diparsialkan lagi tersendiri :
misal u = x du = dx
dv = sinx dx v = ∫sin x dx = - cos x
SMA - 3
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
sehingga : ∫ x sin x dx = x . (-cos x) - ∫ − cos xdx
= - x cos x + ∫cos xdx
= -x cos x + sinx +c
Maka :
∫ x2 cos x dx = x 2 . sinx - 2∫ x sin xdx
= x 2 . sinx – 2 (-x cos x + sinx) + c
= x 2 . sinx + 2x cos x – 2 sin x + c
= (x 2 - 2). sin x + 2x cos x + c
5. ∫ x cos(2x2 + 3)dx =……
jawab:
misal : u = 2x 2 +3 du = 4x dx dx =
x
du
4
sehingga :
∫ x cos(2x2 + 3)dx = ∫ x cos u
x
du
4
= cosu
4
1 ∫ du
= sin u
4
1 + c
= sin(2 3)
4
1 x2 + + c
6. ∫ +
4
3
x (2 x)3 dx = …..
jawab :
SMA - 4
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
misal : u = x du = dx
dv = (2+x) 3 dx v = ∫(2 + x)3 dx ∫(ax + b)n dx =
( 1)
1
a n +
(ax+b) n+1 + c
=
4
1 (2 + x) 4
∫u dv = uv - ∫v du
∫ +
4
3
x (2 x)3 dx =
4
1 (2 + x) 4
4
3 |
- ∫ +
4
3
(2 )4
4
1 x dx
=
4
1 (2 + x) 4
4
3 |
-
4
1
5
1 (2 + x) 5
4
3 |
=
4
1 (1296 – 625) -
20
1 (7776 – 3125)
=
4
671 -
20
4651
=
20
3355 − 4651
= -
20
1296 = -64
5
4
7. ∫
2
6
sin2 cos
π
π
x x dx = ….
Jawab:
Cara 1:
Pakai rumus : ∫ sinn (ax+b) cos(ax+b) dx =
( 1)
1
a n +
sin n+1 (ax+b) +c
∫ 2
6
sin2 cos
π
π
x x dx =
3
1 sin 3x
2
6
|
π
π
=
3
1 ( 1 3 - (
2
1 ) 3 ) =
3
1 .
8
7 =
24
7
SMA - 5
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
Cara 2:
Cara subtitusi :
misal u = sin x du = cos x dx
∫ 2
6
sin2 cos
π
π
x x dx = ∫ u2 du =
3
1 u 3
=
3
1 sin 3x
2
6
|
π
π
=
3
1 ( 1 3 - (
2
1 ) 3 ) =
3
1 .
8
7 =
24
7
8. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah :
Jawab :
Cari titik potong persamaan y = 3x dan y= x 2 - 2x :
3x = x 2 - 2x
⇔ x 2 - 5x = 0
⇔ x(x - 5) = 0
didapat titik potong di x = 5 dan x = 0
SMA - 6
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
L = ∫ − −
5
0
(3x (x2 2x)) dx
= ∫ −
5
0
(5x x2 ) dx
= 2
2
5 x - 3
3
1 x
5
0 |
= 52
2
5 - 53
3
1
=
2
125 -
3
125 =
6
375 − 250
=
6
125
= 20
6
5 satuan luas
9. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah :
Jawab:
cari titik potong kedua persamaan :
8-2x 2 = x + 2
⇔ 2x 2 +x – 6 = 0
⇔ (2x - 3)( x + 2) = 0
Didapat titik potong x =
2
3 dan x = -2
SMA - 7
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
L = ∫
−
− − +
2
3
2
((8 2x2 ) (x 2))dx
= ∫
−
− −
2
3
2
(6 2x2 x)dx
= 6x -
3
2 x 3 -
2
1 x 2 2
3
2
|
−
= {6 .
2
3 -
3
2 (
2
3 ) 3 -
2
1 (
2
3 ) 2 } - {6 . -2 -
3
2 (-2) 3 -
2
1 (-2) 2 }
= {9 -
3
2 .
8
27 -
2
1 .
4
9 } – {-12 +
3
16 - 2}
= 9 -
24
54 -
8
9 + 12 -
3
16 + 2
= 23 -
24
54 -
8
9 -
3
16
=
24
552 − 54 − 27 −128
=
24
343 = 14
24
7 satuan luas
10. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x 2 dan y = x +6. Diputar
mengelilingi sumbu x sebesar 360 0 adalah…..
Jawab:
SMA - 8
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
Titik potong kurva :
x 2 = x + 6
⇔ x 2 - x – 6 = 0
⇔ (x- 3)(x+2) = 0
titik potong di x = 3 dan x = -2
V = π ∫
−
+
3
2
((x 6)2 - ( x 2 ) 2 ) dx
= π ∫
−
+ + −
3
2
((x2 12x 36) x4 ) dx
= π ∫
−
− + + +
3
2
( x4 x2 12x 36) dx
= π { -
5
1 x 5+
3
1 x 3 + 6 x 2 + 36x}
3
2
|
−
= π {(-
5
243 + 9 + 54 + 108) – (
5
32 -
3
8 + 24 – 72)}
= π (-
5
243 +171 -
5
32 +
3
8 + 48)
= π (-
5
275 +
3
8 + 219)
= π (219 – 55 +
3
8 ) = π (164 +
3
8 )
= 166
3
2 π satuan volume
